Задание
Точка $D$ и $Е$ - основания высот непрямоугольного треугольника $АВС$, проведенных из вершин $А$ и $С$ соответственно. Известно, что $\dfrac{DE}{AC}=k$, $BC=a$ и $AB=b$. Найдите сторону $АС$.
Дано
- $ABC$ - треугольник
- $AD$, $CE$ - высоты
- $\dfrac{DE}{AC}=k$
- $BC=a$, $AB=b$
- $AC$ - ?
Решение (случай 1)
Решим эту задачу для случая, когда $ABC$ - остроугольный треугольник (см. рисунок выше).
В остроугольном треугольнике две его высоты отсекают от него подобные треугольники. Поэтому, треугольник $ABC$ подобен треугольнику $BDE$. Коэффициентом подобия этих треугольников является $\dfrac{DE}{AC}=k$. По теореме Пифагора из треугольника $BEC$ $$ \cos =\frac{BE}{BC}=\frac{k\cdot BC}{BC}=k $$ По теореме косинусов из треугольника $ABC$ $$ AC=\sqrt{AB^2+BC^2-2\cdot AB\cdot BC\cdot \cos B}=\sqrt{a^2+b^2-2abk} $$
Решение (случай 2)
Решим эту задачу для случая, когда $ABC$ - тупоугольный треугольник.
В остроугольном треугольнике $ACH$ прямые $AE$ и $CD$ являются высотами, следовательно, по свойствам высоты остроугольного треугольника, треугольники $ACH$ и $EDH$ являются подобными с коэффициентом подобия $\dfrac{DE}{AC}=k$. Из прямоугольного треугольника $AEH$ $$ \cos H=\frac{EH}{HA}=\frac{k\cdot HA}{HA}=k $$ Треугольники $AEH$ и $ABD$ подобны по двум углам, потому что они имеют общий угол $\angle A$ и оба прямоугольные. Следовательно $\angle H=\angle ABD$, $ \angle ABC=180-\angle ABD $. $$ \cos ABC=\cos(180-\angle ABD)=-\cos H=-k $$ По теореме косинусов из треугольника $ABC$ $$ AC=\sqrt{AB^2+BC^2-2\cdot AB\cdot BC\cdot\cos ABC}=\sqrt{a^2+b^2+2abk} $$
Ответ: $\sqrt{a^2+b^2-2abk},\ \sqrt{a^2+b^2+2abk}$.