Задание
Высоты треугольника $ABC$ пересекаются в точке $H$. Известно, что отрезок $CH$ равен радиусу окружности, описанной около треугольника. Найти угол $ACB$.
Дано
- ABC - треугольник
- H - точка пересечения высот треугольника ABC
- R - радиус описанной вокруг ABC окружности
- CH=R
- $\angle ACB$ - ?
Решение (случай 1)
Решим эту задачу для случая, когда угол C острый (см. рисунок выше).
Обращаем внимание на то, что $\angle KHM=180-\angle KHC$. Из четырехугольника с двумя прямыми углами $KHMA$ $$ \bf{\angle KAM}=180-\angle KHM=\bf{\angle KHC} $$ По теореме синусов из треугольника ABC: $\dfrac{BC}{\sin CAM}=2R$. Из прямоугольного треугольника KHC: $\sin KAM=\dfrac{KC}{HC}=\dfrac{KC}{R}$. Из этих двух уравнений получаем $$ \dfrac{BC}{KC}=2 $$ Из прямоугольного треугольника KBC: $\cos ACB=\dfrac{KC}{BC}=0.5$ $$ \angle ACB=60^{\circ} $$
Решение (случай 2)
Решим эту задачу для случая, когда угол C тупой.
Решаем задачу абсолютно тем же способом, как в решении случая 1, но только вместо $\angle ACB$ находим $\angle AHB$. Получаем $$ \angle AHB=60^{\circ} $$ Обращаем внимание на то, что $\angle ACB=\angle KCL$. Из четырехугольника $KCLH$ с двумя прямыми углами $$ \angle AHB=180-\angle KCL=180-\angle ABC $$ Следовательно $$ \angle ACB=180-\angle AHB=120^{\circ} $$
Ответ: $60^{\circ},\ 120^{\circ}$.