Задание
Дана окружность и точка $M$. Точки $А$ и $В$ лежат на окружности, причем $А$ - ближайшая к $M$ точка окружности, а $В$ - наиболее удалённая от $M$ точка окружности. Найти радиус окружности, если $MA = а$ и $MB = b$.
Дано
- A, B - лежащие на окружности точки
- M - точка
- A - ближайшая к M точка окружности
- B - наиболее удалённая от М точка окружности
- MA=a, MB=b
- R - радиус окружности
- R - ?
Решение (случай 1)
Решим задачу для случая, когда точка M находится внутри окружности (см. рисунок выше).
По условию задачи, точка A должна быть ближайшей точкой окружности к точке M, в то время как точка B должна быть наиболее удаленной от M. Это условие выполняется тогда, когда AB является диаметром окружности и точка M лежит на этом диаметре. Во всех остальных случаях, всегда можно найти точки, более близкие к M, чем точка A. Из того, что AB является диаметром окружности, следует, что $AB=2R$. Кроме того $AB=a+b$. Следовательно $$ R=\frac{a+b}{2} $$
Решение (случай 2)
Решим задачу для случая, когда точка M находится вне окружности.
По условию задачи, точка A должна быть ближайшей точкой окружности к точке M, в то время как точка B должна быть наиболее удаленной от M. Это условие выполняется тогда, когда AB является диаметром окружности и точка M лежит на продолжении этого диаметра. Во всех остальных случаях, всегда можно найти точки, более близкие к M, чем точка A. Из того, что AB является диаметром окружности, следует, что $AB=2R$. Кроме того $AB=b-a$. Следовательно $$ R=\frac{b-a}{2} $$
Решение (случай 3)
Решим задачу для случая, когда точка M совпадает с точкой A.
В этом случае $$ R=\frac{b}{2} $$
Ответ: $\frac{a+b}{2},\ \frac{b-a}{2},\ \frac{b}{2}$.