ЕГЭ по математике задание С4 ЗАДАЧКА 25

Задание

Тупой угол равнобедренной трапеции равен $100$ градусам. Биссектриса этого угла делит наибольшую сторону трапеции в отношении $1:2$. Длина наибольшей стороны равна $10$ см. Найти площадь трапеции.

Решение (случай 1)

Решим эту задачу для случая, когда
  1. AD является самой длинной стороной трапеции
  2. $AE=2\cdot ED$
Построим высоты трапеции BK, HE и CF.
AD является самой длинной стороной трапеции, следовательно $AD=10$. Кроме того, $AE=2\cdot ED$, следовательно $AE=\frac{20}{3},\ ED=\frac{10}{3}$.
  1. $\angle ABC=100^{\circ}$, следовательно, по свойствам трапеции $\angle A=80^{\circ}$.
  2. Из прямоугольного треугольника ABK $\angle ABK=90-\angle A=10^{\circ}$.
  3. $\angle KBE=\angle ABE-\angle ABK=50-10=40^{\circ}$.
  4. Треугольник KBE прямоугольный, следовательно $\angle BEK=90-\angle KBE=50^{\circ}$.
  5. Получается, что в треугольнике ABE $\angle ABE=\angle AEB=50^{\circ}$, следовательно, треугольник ABE равнобедренный.
  6. Из равнобедренности ABE следует, что $AB=AE=\frac{20}{3}$
Из прямоугольного треугольника AKB: $AK=AB\cdot \cos ABK=\frac{20}{3}\cdot\sin10^{\circ}$. Получаем $$ KE=AE-AK=\frac{20}{3}\cdot(1-\sin 10) $$ Так как трапеция равнобедренная, $FD=AK$. Получаем $$ EF=ED-FD=\frac{10}{3}\cdot(1-2\sin 10) $$ С учетом того, что $BC=KF=KE+EF$, получаем $$ BC=\frac{20}{3}\cdot(1-\sin 10)+\frac{10}{3}\cdot(1-2\sin 10)=10-\frac{40}{3}\cdot \sin 10 $$ Из прямоугольного треугольника AKB $$ KB=AB\cos ABK=\frac{20}{3}\cdot \cos 10 $$ По свойствам трапеции $$ S_{ABCD}=\frac{AD+BC}{2}\cdot KB=\frac{10}{3}\cos 10\cdot(20-\frac{40}{3}\sin 10) $$

Решение (случай 2)

Решим эту задачу для случая, когда
  1. AD является самой длинной стороной трапеции
  2. $2\cdot AE=ED$
AD является самой длинной стороной трапеции, следовательно $AD=10$. Кроме того, $2\cdot AE=ED$, следовательно $AE=\frac{10}{3},\ ED=\frac{20}{3}$. Как мы выяснили в предыдущем решении, треугольник ABE равнобедренный, $AB=AE=\frac{10}{3}$, $AK=AB\cdot \sin ABK=\frac{10}{3}\cdot\sin 10^{\circ}$, $BK=AB\cdot \cos ABK=\frac{10}{3}\cdot\cos 10^{\circ}$. Так как трапеция равнобедренная, треугольник PCD равен треугольнику ABE, следовательно $FD=AK$. $$ BC=KF=AD-2\cdot AK=10-2\cdot\frac{10}{3}\cdot\sin 10^{\circ} $$ По свойствам трапеции $$ S_{ABCD}=\frac{AD+BC}{2}\cdot BK=\frac{5}{3}\cos 10\cdot(20-\frac{20}{3}\cdot\sin10) $$

Решение (случай 3)

Решим эту задачу для случая, когда
  1. AB и CD являются самыми длинными сторонами трапеции
  2. $CE=2\cdot ED$
Построим высоту трапеции BK.
AB и CD являются самыми длинными сторонами трапеции, следовательно $AB=CD=10$. При этом, $CE=2\cdot ED$, следовательно, $CE=\frac{20}{3},\ ED=\frac{10}{3}$.
  1. $\angle ABC=100^{\circ}\ \Leftrightarrow\ \angle BAD=80^{\circ},\ \angle ABK=10^{\circ}$

  2. $AK=AB\cdot \sin ABK=10\sin 10$, $BK=AB\cdot\cos ABK=10\cos10$

  3. $\angle EBC=50^{\circ},\ \angle BCE=100^{\circ}\ \Leftrightarrow\ \angle BEC=180-100-50=30^{\circ}$

  4. По теореме синусов $\dfrac{BC}{\sin BEC}=\dfrac{CE}{\sin EBC} \ \Leftrightarrow\ BC=\dfrac{20\sin 30}{3\sin 50}$
По свойствам трапеции $$ S_{ABCD}=\frac{AD+BC}{2}\cdot BK=\frac{(2\cdot AK+BC)+BC}{2}\cdot BK=( 10\sin10+\dfrac{20\sin 30}{3\sin 50} )\cdot 10\cos10 $$

Решение (случай 4)

Решим эту задачу для случая, когда
  1. AB и CD являются самыми длинными сторонами трапеции
  2. $2\cdot CE= ED$
Решение в этом случае аналогично предыдущему решению за исключением того, что $BC=\dfrac{10\sin 30}{3\sin 50}$, из-за чего ответ меняется и приобретает вид $$ S_{ABCD}=( 10\sin10+\dfrac{10\sin 30}{3\sin 50} )\cdot 10\cos10 $$
Ответ: $\frac{10}{3}\cos 10\cdot(20-\frac{40}{3}\sin 10)$, $\frac{5}{3}\cos 10\cdot(20-\frac{20}{3}\cdot\sin10)$, $( 10\sin10+\dfrac{20\sin 30}{3\sin 50} )\cdot 10\cos10$, $( 10\sin10+\dfrac{10\sin 30}{3\sin 50} )\cdot 10\cos10$.

Категория: 

© 2011-2014, Bankege.ru