Задание
Тупой угол равнобедренной трапеции равен $100$ градусам. Биссектриса этого угла делит наибольшую сторону трапеции в отношении $1:2$. Длина наибольшей стороны равна $10$ см. Найти площадь трапеции.Решение (случай 1)
Решим эту задачу для случая, когда- AD является самой длинной стороной трапеции
- $AE=2\cdot ED$
AD является самой длинной стороной трапеции, следовательно $AD=10$. Кроме того, $AE=2\cdot ED$, следовательно $AE=\frac{20}{3},\ ED=\frac{10}{3}$.
- $\angle ABC=100^{\circ}$, следовательно, по свойствам трапеции $\angle A=80^{\circ}$.
- Из прямоугольного треугольника ABK $\angle ABK=90-\angle A=10^{\circ}$.
- $\angle KBE=\angle ABE-\angle ABK=50-10=40^{\circ}$.
- Треугольник KBE прямоугольный, следовательно $\angle BEK=90-\angle KBE=50^{\circ}$.
- Получается, что в треугольнике ABE $\angle ABE=\angle AEB=50^{\circ}$, следовательно, треугольник ABE равнобедренный.
- Из равнобедренности ABE следует, что $AB=AE=\frac{20}{3}$
Решение (случай 2)
Решим эту задачу для случая, когда- AD является самой длинной стороной трапеции
- $2\cdot AE=ED$
AD является самой длинной стороной трапеции, следовательно $AD=10$. Кроме того, $2\cdot AE=ED$, следовательно $AE=\frac{10}{3},\ ED=\frac{20}{3}$. Как мы выяснили в предыдущем решении, треугольник ABE равнобедренный, $AB=AE=\frac{10}{3}$, $AK=AB\cdot \sin ABK=\frac{10}{3}\cdot\sin 10^{\circ}$, $BK=AB\cdot \cos ABK=\frac{10}{3}\cdot\cos 10^{\circ}$. Так как трапеция равнобедренная, треугольник PCD равен треугольнику ABE, следовательно $FD=AK$. $$ BC=KF=AD-2\cdot AK=10-2\cdot\frac{10}{3}\cdot\sin 10^{\circ} $$ По свойствам трапеции $$ S_{ABCD}=\frac{AD+BC}{2}\cdot BK=\frac{5}{3}\cos 10\cdot(20-\frac{20}{3}\cdot\sin10) $$
Решение (случай 3)
Решим эту задачу для случая, когда- AB и CD являются самыми длинными сторонами трапеции
- $CE=2\cdot ED$
AB и CD являются самыми длинными сторонами трапеции, следовательно $AB=CD=10$. При этом, $CE=2\cdot ED$, следовательно, $CE=\frac{20}{3},\ ED=\frac{10}{3}$.
- $\angle ABC=100^{\circ}\ \Leftrightarrow\ \angle BAD=80^{\circ},\ \angle ABK=10^{\circ}$
- $AK=AB\cdot \sin ABK=10\sin 10$, $BK=AB\cdot\cos ABK=10\cos10$
- $\angle EBC=50^{\circ},\ \angle BCE=100^{\circ}\ \Leftrightarrow\ \angle BEC=180-100-50=30^{\circ}$
- По теореме синусов $\dfrac{BC}{\sin BEC}=\dfrac{CE}{\sin EBC} \ \Leftrightarrow\ BC=\dfrac{20\sin 30}{3\sin 50}$
Решение (случай 4)
Решим эту задачу для случая, когда- AB и CD являются самыми длинными сторонами трапеции
- $2\cdot CE= ED$
Решение в этом случае аналогично предыдущему решению за исключением того, что $BC=\dfrac{10\sin 30}{3\sin 50}$, из-за чего ответ меняется и приобретает вид $$ S_{ABCD}=( 10\sin10+\dfrac{10\sin 30}{3\sin 50} )\cdot 10\cos10 $$
Ответ: $\frac{10}{3}\cos 10\cdot(20-\frac{40}{3}\sin 10)$, $\frac{5}{3}\cos 10\cdot(20-\frac{20}{3}\cdot\sin10)$, $( 10\sin10+\dfrac{20\sin 30}{3\sin 50} )\cdot 10\cos10$, $( 10\sin10+\dfrac{10\sin 30}{3\sin 50} )\cdot 10\cos10$.