Задание
Окружности пересекаются в точках $A$ и $B$, причем радиус одной из них в два раза больше радиуса другой, общая хорда $AB$ равна $2\sqrt{3}$, расстояния от центров окружностей до хорды относятся как $2:5$. Найти расстояние между центрами окружностей.
Дано
- две окружности, радиус $R$ одной из которых в два раза больше радиуса $r$ другой
- $O$, $O_1$ - центры окружностей
- окружности пересекаются в точках A и B
- $AB=2\sqrt{3}$
- $\dfrac{OS}{SO_1}=\dfrac{5}{2}$
- $OO_1$ - ?
Решение (случай 1)
Решим эту задачу для случая, когда центры окружностей расположены по разные стороны от их общей хорды $AB$.
Треугольник OAB равнобедренный, $\angle ASO=90^{\circ}$, следовательно $$ AS=SB=\frac{AB}{2}=\sqrt{3} $$ По теореме Пифагора: $R^2=AS^2+OS^2$, $r^2=SO_1^2+AS^2$. С учетом того, что $R=2\cdot r$, $OS=\frac{5}{2}\cdot SO_1$, получаем систему $$ \left\{\begin{gather} 4\cdot r^2=3+\frac{25}{4}\cdot SO_1^2 \\ r^2=SO_1^2+3 \end{gather} \right. $$ Решаем систему и получаем $SO_1=2\ \Leftrightarrow\ OS=5$. Откуда получаем окончательный ответ $$ OO_1=SO_1+OS=7 $$
Решение (случай 2)
Решим эту задачу для случая, когда центры окружностей расположены по одну сторону от их общей хорды AB.
Способом, аналогичным способу, применявшемуся в предыдущем решении, получаем $SO_1=2,\ OS=5$. Отсюда получаем $$ OO_1=OS-SO_1=3 $$
Ответ: 7, 3.