Задание
В прямоугольный треугольник $ABC$ с гипотенузой $AB$ вписана окружность с центром $O$, радиус которой равен $10$. Расстояние от точки $О$ до вершины $B$ равно $15$. Найдите радиус окружности, касающейся вписанной в треугольник $ABC$ окружности и строн угла $ABC$.
Дано
- ABC - прямоугольный треугольник
- O - центр окружности, радиус которой $R=10$
- OB=15
- $O_1$ - центр окружности радиуса $r$, касающейся сторон BC, AB и окружности радиуса $R$
- $r$ - ?
Решение
Треугольники BHO и BNO_1 подобны по двум углам. Следовательно, для этих треугольников выполняется соотношение $\dfrac{HO}{OB}=\dfrac{NO_1}{BO_1}$. С учетом того, что $BO_1=OB-OL-LO_1=OB-R-r$, получаем $$ \dfrac{10}{15}=\dfrac{r}{15-10-r} $$ Решаем это уравнение и получаем окончательный ответ $$ r=2 $$
Ответ: 2.