Задание
Дан прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом при вершине $B$ и углом $\alpha$ при вершине $A$. Точка $D$ - середина гипотенузы. Точка $C_1$ симметрична точке $C$ относительно прямой $BD$. Найдите угол $AC_1B$.Дано
- ABC - прямоугольный треугольник
- $\angle ABC=90^{\circ}$
- BD - медиана
- $C_1$ - точка, симметричная точке C относительно прямой BD
- $\angle CSD=90^{\circ}$, $CS=C_1S$
- $\angle BAC=\alpha$
- $\angle BC_1A$ - ?
Решение (случай 1)
В треугольниках CSD и CC_1A:
- угол A общий
- $\dfrac{CS}{CC_1}=0.5$, $\dfrac{CD}{CA}=0.5$
- Треугольник ADB равнобедренный, следовательно $\angle ABD=\alpha$
- $\angle DBC=90-\angle ABD=90-\alpha$
- Из прямоугольного треугольника BSC: $\angle BCS=90-\angle DBC=\alpha$
- Треугольник BCC_1 равнобедренный, потому что его высота BS является его медианой. Следовательно, $\angle CC_1B=\angle BCS=\alpha$.
Решение (случай 2)
- $\triangle CSD \sim \triangle CC_1A\ \Leftrightarrow\ \angle SDC=\angle C_1AC$
- Из равнобедренности $\triangle ADB$: $\angle ADB=180-2\alpha,\ \angle SDC=\angle ADB\ \Leftrightarrow\ \angle C_1AC=180-2\alpha$
- $\triangle CSD \sim \triangle CC_1A\ \Rightarrow$ прямая BD параллельна прямой AC_1$\ \Rightarrow\ \angle OBD=\angle BC_1A$
- Прямая DS одновременно является высотой и медианой треугольника DCC_1, следовательно, этот треугольник равнобедренный: $DC_1=DC=AD=BD$
- Из равнобедренности треугольника BDC_1 следует, что $\angle BC_1D=\angle OBD=\angle BC_1A$
- Из равнобедренности $\triangle DC_1A$: $\angle DC_1A=\angle DAC_1$