Задание
В прямоугольном треугольнике ABC биссектриса прямого угла C делит гипотенузу на отрезки 3 и 4. Найдите площадь треугольника ABC.
Дано
- ABC - прямоугольный треугольник
- CO - биссектриса прямого угла
- AO=4, BO=3
- $S_{ABC}$ - ?
Решение
Согласно свойствам биссектрисы, она делит противолежащую сторону в отношении, равном отношению двух прилежащих к ней сторон. Поэтому $$ \frac{AC}{BC}=\frac{AO}{BO} $$ Из прямоугольного треугольника ABC, по теореме Пифагора $$ AB^2=AC^2+BC^2 $$ Получаем систему $$ \left\{\begin{gather} \frac{AC}{BC}=\frac{4}{3} \\ (3+4)^2=AC^2+BC^2 \end{gather} \right. $$ Решаем ее и получаем $$ AC=\frac{28}{5},\ BC=\frac{21}{5} $$ Находим площадь прямоугольного треугольника ABC по формуле нахождения площади прямоугольных треугольников по двум катетам $$ S=0.5\cdot AC\cdot BC\cdot \sin 90^{\circ}=\frac{294}{25} $$
Ответ: $\frac{294}{25}$.