ЕГЭ по математике задание С4 ЗАДАЧКА 5


Задание

В прямоугольном треугольнике ABC сумма катетов равна 14, а разность радиусов описанной и вписанной окружностей равна 3. Определите все стороны треугольника ABC.

Дано

  • ABC - прямоугольный треугольник
  • $r,\ R$ - радиусы вписанной и описанной окружностей
  • $AC+BC=14$
  • $R-r=3$
  • A, B, C - ?

Решение

1) Находим $r$ и $R$:
По свойствам прямоугольного треугольника, сумма длин его катетов равна сумме диаметров описанной и вписанной вокруг него окружностей. Треугольник ABC прямоугольный, следовательно $$ 14=2R+2r $$ При этом, по условию $$ R-r=3 $$ Из этих двух уравнений получаем $$ R=5,\ r=2 $$
2) Находим стороны треугольника:
По свойствам прямоугольного треугольника, $R=2c$, следовательно $$ c=\frac{R}{2}=2.5 $$ При этом по свойствам радиуса вписанной окружности $$ r=\frac{a+b-c}{2}\ \Leftrightarrow \ a+b=2r+c=2\cdot2+2.5=6.5 $$ При этом, по условию задачи $$ a+b+c=14\ \Leftrightarrow \ a+b=14-c=14-2.5=11.5 $$ Мы получили соотношения $a+b=6.5$ и $a+b=11.5$, которые не могут выполняться одновременно. Следовательно, задача не имеет решений.
Ответ: решений нет.

См. также

  • Решение задачки на сайте ucheba.pro

Категория: 

© Открытый банк заданий ЕГЭ | Контакты: admin @ bankege.ru