Задание
В прямоугольном треугольнике ABC угол C равен 90, AC=6, CB=8. Из вершины прямого угла проведена медиана CM. В треугольник ABC вписана окружность с центром в точке O. Найдите площадь треугольника COM.
Дано
- ABC - прямоугольный треугольник
- CM - медиана
- CD - биссектриса
- O - центр вписанной в ABC окружности
- AC=6, CB=8
- площадь треугольника COM - ?
Решение
1) Находим AB и CM:
Из прямоугольного треугольника ABC, по теореме Пифагора $$ AB=\sqrt{BC^2+AC^2}=10 $$ В прямоугольном треугольнике медиана равна половине гипотенузы, поэтому $$ CM=BM=AM=\frac{AB}{2}=5 $$
2) Находим AD и MD:
Биссектриса делит противолежащую сторону в отношении длин ее прилежащих сторон. CD является биссектрисой треугольника ABC, поэтому $$ \frac{AD}{BD}=\frac{AC}{BC} $$ При этом $$ AD+BD=10 $$ Решаем эти 2 уравнения и получаем $$ AD=\frac{30}{7},\ BD=\frac{40}{7} $$ Откуда $$ MD=MA-DA=5-\frac{30}{7}=\frac{5}{7} $$
3) Находим площадь треугольников CMA и CMD:
Площадь треугольника ABC $$ S_{ABC}=\frac{BC\cdot AC}{2}=\frac{6\cdot 8}{2}=24 $$ По свойствам медианы, площадь треугольника CMA $$ S_{CMA}=\frac{S_{ABC}}{2}=12 $$ По одной из формул нахождения площади треугольника $$ \frac{S_{CMD}}{S_{CMA}}=\dfrac{\dfrac{CM\cdot MD\cdot \sin CMA}{2}}{\dfrac{CM\cdot MA\cdot \sin CMA}{2}}=\frac{MD}{MA}=\frac{1}{7} $$ Откуда $$ S_{CMD}=\frac{S_{CMA}}{7}=\frac{12}{7} $$
4) Находим площадь треугольника COM:
Биссектриса делит противолежащую сторону в отношении длин ее прилежащих сторон. AO является биссектрисой треугольника CDA, поэтому $$ \frac{CO}{OD}=\frac{CA}{DA}=\frac{6}{\frac{30}{7}}=\frac{7}{5} $$ По одной из формул нахождения площади треугольника $$ \frac{S_{COM}}{S_{CDM}}=\frac{CO}{CD}=\frac{\frac{7}{5}\cdot OD}{OD+\frac{7}{5}\cdot OD}=\frac{12}{7} $$ Откуда $$ S_{COM}=\frac{12}{7}\cdot S_{CDM}=\frac{12}{7}\cdot\frac{7}{12}=1 $$
Ответ: 1.