Задание
В прямоугольном треугольнике ABC угол C равен 90, AC=6, CB=8. Из вершины прямого угла проведена высота CH. В треугольнике AHC проведена биссектриса угла C - CD. Найдите длину отрезка DH.
Решение
1) Находим высоту CH:
Из прямоугольного треугольника ABC, по теореме Пифагора $$ AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=10 $$ По свойствам высоты прямоугольного треугольника $$ CH=\frac{BC\cdot AC}{AB}=4.8 $$
2) Находим DH:
Треугольник CHA прямоугольный, так что, по теореме Пифагора $$ HA=\sqrt{CA^2-CH^2}=3.6 $$ Прямая CD является биссектрисой, так что по свойствам биссектрисы $$ \frac{HD}{DA}=\frac{CH}{CA} $$ Составляем систему $$\left\{\begin{gather} HD+DA=3.6 \\ \frac{HD}{DA}=\frac{4.8}{6} \end{gather} \right.$$ Решаем ее и получаем $$ HD=1.6 $$
Ответ: 1.6.
Аналогичные задачки
- В прямоугольном треугольнике ABC угол C равен 90, AC=6, CB=8. Из вершины прямого угла проведена высота CH. В треугольнике AHC проведена биссектриса угла C - CD, а в треугольнике HBC проведена биссектриса угла C - CE. Найдите длину отрезка DE.