Куб

Куб — правильный прямоугольник, все стороны которого являются квадратами.

Обозначения

  • $ABCDA_1B_1C_1D_1$ — куб
  • $a$ — длина стороны куба
  • $S_{\text{бок.}}$ — площадь грани куба
  • $V_{\text{куба}}$ — объем куба

Объем куба

Объем куба считается по всем известной формуле $$ V_{\text{куба}}=a^3 $$

Находим DB

В треугольнике $ADB$:
  • $AD=AB=a$
  • $\angle DAB=90^{\circ}$ — потому что все стороны куба являются квадратами
Так как треугольник $ADB$ прямоугольный, по теореме Пифагора $$ DB=\sqrt{a^2+a^2}=\sqrt{2}\cdot a $$ Аналогичным образом, приходим к заключению, что длина всех диагоналей граней куба равна $\sqrt{2}\cdot a$.

Находим $DB_1$

В треугольнике $DBB_1$:
  • $BB_1=a$
  • $DB=\sqrt{2}\cdot a$ — как мы только что выяснили
  • $\angle DBB_1=90^{\circ}$ — потому что прямая $BB_1$ параллельна плоскости $ABC$
Так как треугольник $DBB_1$ прямоугольный, по теореме Пифагора $$ DB_1=\sqrt{a^2+2a^2}=\sqrt{3}\cdot a $$ Аналогичным образом, приходим к заключению, что длина всех диагоналей куба равна $\sqrt{3}\cdot a$.

Находим $AO$

Как мы выяснили ранее, $AC=\sqrt{2}\cdot a$. Точка $O$ делит $AC$ пополам, поэтому $$ AO=\frac{AC}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot a $$

Находим $A_1O$

В треугольнике $AA_1O$:
  • $AA_1=a$
  • $AO=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot a$ — как мы только что выяснили
  • $\angle A_1AO=90^{\circ}$ — потому что прямая $AA_1$ параллельна плоскости $ABC$
Так как треугольник $AA_1O$ прямоугольный, по теореме Пифагора $$ A_1O=\sqrt{a^2+\frac{2}{4}\cdot a^2}=\frac{\sqrt{6}}{2}\cdot a $$

Находим $BF$

Пусть F является серединой стороны B_1C_1. Тогда $B_1F=\frac{a}{2}$. Из прямоугольного треугольника $BFB_1$ $$ BF=\sqrt{\frac{a^2}{4}+a^2}=\frac{\sqrt{5}\cdot a}{2} $$

Категория: 

© 2011-2014, Bankege.ru