Правильная шестиугольная призма — призма, в основаниях которой лежат два правильных шестиугольника, а все боковые грани строго перпендикулярны этим основаниям.
Обозначения
- $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ — правильная шестиугольная призма
- $a$ — длина стороны основания призмы
- $h$ — длина бокового ребра призмы
- $S_{\text{осн.}}$ — площадь основания призмы
- $S_{\text{бок.}}$ — площадь боковой грани призмы
- $S_{\text{полн.}}$ — площадь полной поверхности призмы
- $V_{\text{призмы}}$ — объем призмы
Площадь оснований призмы
В основаниях призмы находятся правильные шестиугольники со стороной $a$. По свойствам правильного шестиугольника, площадь оснований призмы равна $$ S_{\text{осн.}}=\frac{3\sqrt{3}}{2}\cdot a^2 $$ Таким образом, получается, что $S_{ABCDEF}=S_{A_1B_1C_1D_1E_1F_1}=\frac{3\sqrt{3}}{2}\cdot a^2$.Площадь полной поверхности призмы
Площадь полной поверхности призмы складывается из площадей боковых граней призмы и площадей ее оснований. Каждая из боковых граней призмы является прямоугольником со сторонами $a$ и $h$. Следовательно, по свойствам прямоугольника $$ S_{\text{бок.}}=a\cdot h $$ У призмы шесть боковых граней и два основания, следовательно, площадь ее полной поверхности равна $$ S_{\text{полн.}}=6\cdot S_{\text{бок.}}+2\cdot S_{\text{осн.}}=6\cdot a\cdot h+2\cdot \frac{3\sqrt{3}}{2}\cdot a^2$$Объем призмы
Объем призмы вычисляется как произведение площади ее основания на ее высоту. Высотой правильной призмы является любое из ее боковых ребер, например, ребро $AA_1$. В основании правильной шестиугольной призмы находится правильный шестиугольник, площадь которого нам известна. Получаем $$ V_{\text{призмы}}=S_{\text{осн.}}\cdot AA_1=\frac{3\sqrt{3}}{2}\cdot a^2\cdot h $$Правильный шестиугольник в основаниях призмы
Рассматриваем правильный шестиугольник ABCDEF, лежащий в основании призмы. Проводим отрезки AD, BE и CF. Пусть пересечением этих отрезков является точка O. По свойствам правильного шестиугольника, треугольники AOB, BOC, COD, DOE, EOF, FOA являются правильными треугольниками. Отсюда следует, что $$ AO=OD=EO=OB=CO=OF=a $$ Проводим отрезок AE, пересекающийся с отрезком CF в точке M. Треугольник AEO равнобедренный, в нём $AO=OE=a,\ \angle EOA=120^{\circ}$. По свойствам равнобедренного треугольника $$ AE=a\cdot\sqrt{2(1-\cos EOA)}=\sqrt{3}\cdot a $$ Аналогичным образом приходим к заключению, что $ AC=CE=\sqrt{3}\cdot a $, $FM=MO=\frac{1}{2}\cdot a$.Находим $EA_1$
В треугольнике $AEA_1$:- $AA_1=h$
- $AE=\sqrt{3}\cdot a$ — как мы только что выяснили
- $\angle EAA_1=90^{\circ}$ — по свойствам правильной призмы
Находим $EB_1$
В треугольнике $BEB_1$:- $BB_1=h$
- $BE=2\cdot a$ — потому что $EO=OB=a$
- $\angle EBB_1=90^{\circ}$ — по свойствам правильной призмы
Находим $OF_1$
В треугольнике $FOF_1$:- $FF_1=h$
- $FO=a$
- $\angle OFF_1=90^{\circ}$ — по свойствам правильной призмы
Находим $FE_1$
В треугольнике $FEE_1$:- $EE_1=h$
- $FE=a$
- $\angle FEE_1=90^{\circ}$ — по свойствам правильной призмы