ЕГЭ по математике задание С3 ЗАДАЧКА 32

Задание

Решите неравенство $$ \lg^2\frac{(x-3)^2\cdot (x-2)}{18}>\lg^2\frac{x-2}{2} $$

Решение

ОДЗ: $\left\{\begin{gather} \frac{(x-3)^2\cdot (x-2)}{18}>0 \\ \frac{x-2}{2}>0 \end{gather} \right. \ \Leftrightarrow\ x>2,\ x\neq3$ 1) Шаг 1:
Переносим логарифм из правой части неравенства налево и раскладываем получившееся выражение на произведение скобок по формуле разности квадратов $$ (\lg\frac{(x-3)^2\cdot (x-2)}{18}-\lg \frac{x-2}{2})\cdot (\lg\frac{(x-3)^2\cdot (x-2)}{18}+\lg \frac{x-2}{2})>0 $$ Сворачиваем выражения в скобках по формулам суммы и разности логарифмов $$ \lg \frac{(x-3)^2\cdot (x-2)\cdot 2}{18\cdot (x-2)}\cdot \lg\frac{(x-3)^2\cdot (x-2)\cdot(x-2)}{18\cdot 2}>0 $$ Упрощаем $$ \lg \frac{(x-3)^2}{9}\cdot \lg\frac{(x-3)^2\cdot (x-2)^2}{36}>0 $$ Данное неравенство будет истинным либо тогда, когда оба логарифма положительны, либо тогда, когда оба логарифма отрицательны.
2) Шаг 2:
Если оба логарифма положительны, нам нужно решить систему $$\left\{\begin{gather} \lg \frac{(x-3)^2}{9}>0 \\ \lg\frac{(x-3)^2\cdot (x-2)^2}{36}>0 \end{gather} \right. $$ Избавляемся от степеней $$\left\{\begin{gather} \lg \frac{|x-3|}{3}>0 \\ \lg\frac{|(x-3)\cdot (x-2)|}{6}>0 \end{gather} \right. $$ Избавляемся от логарифмов $$\left\{\begin{gather} \frac{|x-3|}{3}>1 \\ \frac{|(x-3)\cdot (x-2)|}{6}>1 \end{gather} \right. $$ Решаем систему и получаем $x\in(-\infty,0)\cup(6,+\infty)$
2) Шаг 3:
Если оба логарифма отрицательны, нам нужно решить систему $$\left\{\begin{gather} \lg \frac{(x-3)^2}{9}<0 \\ \lg\frac{(x-3)^2\cdot (x-2)^2}{36}<0 \end{gather} \right. $$ Решаем систему аналогично предыдущей системе и получаем $x\in(0,5)$
Объединяем результаты, полученные на 2 и 3 шаге, с ОДЗ и получаем окончательный ответ $$ x\in(2,3)\cup(3,5)\cup(6,+\infty) $$ Ответ: $x\in(2,3)\cup(3,5)\cup(6,+\infty)$.




Категория: 

© Открытый банк заданий ЕГЭ | Контакты: admin @ bankege.ru