Задание
В правильной треугольной пирамиде SABC N — середина ребра AB, S — вершина. Известно, что SN=24, а площадь боковой поверхности равна 288. Найдите длину отрезка BC.
Дано
- $SABC$ — правильная треугольная пирамида, в основании которой правильный треугольник
- $N$ — середина $AB$
- $SN=24$
- $S_{\text{бок.}}=288$ — площадь боковой поверхности пирамиды
- $BC$ — ?
Решение
Так как пирамида $SABC$ правильная, все ее боковые грани являются равными между собой равнобедренными треугольниками, площадь каждого из этих треугольников равна $$ S_{ABS}=S_{BCS}=S_{ACS}=\frac{288}{3}=96 $$ Отрезок $SN$ является медианой равнобедренного треугольника $ABS$, следовательно, он также является его высотой. Согласно свойствам треугольника $$ S_{ABS}=\frac{1}{2}\cdot SN\cdot AB $$ Откуда $$ AB=\frac{2\cdot S_{ABS}}{SN}=\frac{2\cdot 96}{24}=8 $$ В основании правильной пирамиды находится правильный треугольник, все стороны которого равны между собой, следовательно $$ BC=AB=8 $$
Ответ: 8.