Задание
В кубе $A..D_1$ точки $E$, $F$ - середины ребер соответственно $A_1B_1$ и $B_1C_1$. Найдите косинус угла между прямыми $AE$ и $BF$.
Дано
- $A..D_1$ - куб
- $a$ - длина стороны куба
- $E$ и $F$ - середины ребер $A_1B_1$ и $B_1C_1$
- $AE$, $BF$ - прямые
- косинус угла между $AE$ и $BF$ - ?
Решение
1) Определяем, какой, собственно, угол нам нужно искать:
- Пусть точка $M$ - середина ребра $A_1D_1$
- Прямая $AM$ параллельна прямой $BF$, поэтому искомый угол равен углу между $AM$ и $BF$.
- Угол $EAM$ является углом между $AM$ и $BF$, который нам нужно найти.
По свойствам куба $$ AE=AM=\frac{\sqrt{5}\cdot a}{2} $$ Из прямоугольного треугольника $EMA_1$ $$ EM=\sqrt{\frac{a^2}{4}+\frac{a^2}{4}}=\frac{\sqrt{2}\cdot a}{2} $$ Из треугольника $AEM$ по теореме косинусов $$ \cos EAM=\frac{AE^2+AM^2-EM^2}{2\cdot AE\cdot AM} $$ Подставляем $$ \cos EAM=\frac{2\cdot (\frac{\sqrt{5}\cdot a}{2})^2-(\frac{\sqrt{2}\cdot a}{2})^2}{2\cdot \frac{\sqrt{5}\cdot a}{2}\cdot \frac{\sqrt{5}\cdot a}{2}}=\frac{4}{5} $$
Ответ: $\frac{4}{5}$.