Задание
В кубе $A..D_1$ точки $E$, $F$ - середины ребер $A_1B_1$ и $C_1D_1$. Найдите косинус угла между прямыми $AE$ и $BF$.
Решение
Вводим систему координат с цетром в точке $A$. Тогда, точки нашего куба будут иметь координаты $$ A(0,0,0),\ E(0,a,\frac{a}{2}),\ B(0,0,a),\ F(a,a,\frac{a}{2}) $$ Угол между веторами $AE$ и $BF$ острый, угол между векторами $EA$ и $BF$ тупой, значит, нужно искать угол между $AE$ и $BF$. $AE$ имеет координаты $$ AE(0-0,a-0,\frac{a}{2}-0)=AE(0,a,\frac{a}{2}) $$ $BF$ имеет координаты $$ BF(a-0,a-0,\frac{a}{2}-a)=BF(a,a,-\frac{a}{2}) $$ По определению скалярного произведения $$ \cos (\overrightarrow{AE},\overrightarrow{BF})=\frac{|0\cdot a+a\cdot a+\frac{a}{2}\cdot -\frac{a}{2}|}{\sqrt{0^2+a^2+\frac{a^2}{4}}\cdot\sqrt{a^2+a^2+\frac{a^2}{4}}}=\frac{1}{\sqrt{5}} $$
Ответ: $\frac{1}{\sqrt{5}}$.