Задание
В правильном тетраэдре $ABCD$ точка $E$ - середина ребра $CD$. Найдите косинус между прямыми $BC$ и $AE$.
Решение
Пусть точка $F$ - середина ребра $BD$. Прямая $EF$ параллельна прямой $BC$, следовательно, искомый угол равен углу между $EF$ и $AE$. Угол $AEF$ является углом между $AE$ и $EF$, который нам нужно найти. Пусть сторона тетраэдра равна $a$. По свойствам тетраэдра $$ AE=AF=\frac{\sqrt{3}\cdot a}{2} $$ Прямая $EF$ является средней линией треугольника $BCD$, так что по свойствам средней линии $$ EF=\frac{BC}{2}=\frac{a}{2} $$ По теореме косинусов $$ \cos AEF=\frac{AE^2+EF^2-AF^2}{2\cdot AE\cdot EF} $$ Подставляем $$ \cos AEF=\frac{(\frac{\sqrt{3}\cdot a}{2})^2+\frac{a^2}{4}-(\frac{\sqrt{3}\cdot a}{2})^2}{2\cdot \frac{\sqrt{3}\cdot a}{2}\cdot \frac{a}{2} }=\frac{1}{2\sqrt{3}} $$
Ответ: $\frac{1}{2\sqrt{3}}$.