Задание
Найдите угол между диагональю куба и скрещивающейся с ней диагональю грани.
Решение
Примечание: эту задачу можно решать как методом координат, так и традиционным способом, путем удлинения куба и превращения его в прямоугольный параллелепипед. В данном решении, задача решается через метод координат.
- Пусть сторона куба равна $a$.
- Вводим трехмерную систему координат с центром в точке $A$.
- Координаты точек в новой системе координат $A(0,0,0),\ D_1(0,a,a),\ C(a,a,0),\ A_1(0,0,a)$
- Угол между векторами $CA_1$ и $AD_1$ не тупой, следовательно, он нам подходит.
- Вычисляем координаты векторов $ CA_1(a-0,a-0,0-a)=CA_1(a,a,-a),\ AD_1(0-0,a-0,a-0)=AD_1(0,a,a) $
- Вычисляем косинус искомого угла по формуле скалярного произведения $ \cos (CA_1,AD_1)=\frac{|a\cdot0+a^2-a^2 |}{\sqrt{3a^2}\cdot\sqrt{2a^2}}=0 $