ЕГЭ по математике задание С3 ЗАДАЧКА 50

Задание

Решите неравенство $$ \log_{|x|}(\sqrt{9-x^2}-x-1)\geq1 $$

Решение

ОДЗ: $\left\{\begin{gather} |x|>0 \\ |x|\neq1 \\ \sqrt{9-x^2}-x-1>0 \\ 9-x^2\geq0 \end{gather} \right. \ \Leftrightarrow\ x\in[-3;-1)\cup(-1;0)\cup(0,1)\cup(1;\frac{\sqrt{17}-1}{2})$ 1) Шаг 1:
Переносим $1$ в левую часть неравенства и представляем ее в виде $\log_{|x|}|x|$ $$ \log_{|x|}(\sqrt{9-x^2}-x-1)-\log_{|x|}|x|\geq0 $$ Используем метод замены множителей $$ ((\sqrt{9-x^2}-x-1)-|x|)\cdot(|x|-1)\geq0 $$
2) Находим решения на интервале $x\in[-3;-1)\cup(-1;0)$:
На интервале $x\in[-3;-1)\cup(-1;0)$ решаемое неравенство принимает вид $$ (\sqrt{9-x^2}-x-1+x)\cdot(-x-1)\geq0 $$ Решаем это неравенство и получаем $$ x\in[-2\sqrt{2};-1]\cup[2\sqrt{2};3] $$ На интервале $x\in[-3;-1)\cup(-1;0)$ от этого решения остается $$ \bf{x\in[-2\sqrt{2};-1)} $$
3) Находим решения на интервале $x\in(0,1)\cup(1;\frac{\sqrt{17}-1}{2})$:
На интервале $x\in(0,1)\cup(1;\frac{\sqrt{17}-1}{2})$ решаемое неравенство принимает вид $$ (\sqrt{9-x^2}-x-1-x)\cdot (x-1)\geq0 $$ Решаем это неравенство и получаем $$ x\in[\frac{2}{5}(\sqrt{11}-1);1] $$ На интервале $x\in(0,1)\cup(1;\frac{\sqrt{17}-1}{2})$ от этого решения остается $$ \bf{x\in[\frac{2}{5}(\sqrt{11}-1);1)} $$
Объединяем ответы, полученные на двух предыдущих шагах $$ x\in[-2\sqrt{2};-1)\cup[\frac{2}{5}(\sqrt{11}-1);1) $$ Ответ: $x\in[-2\sqrt{2};-1)\cup[\frac{2}{5}(\sqrt{11}-1);1)$.




Категория: 

© Открытый банк заданий ЕГЭ | Контакты: admin @ bankege.ru