ЕГЭ по математике задание С3 ЗАДАЧКА 51

Задание

Решите неравенство $$ \frac{\log_2(3\cdot2^{x-2}-1)}{x}\geq1 $$

Решение

ОДЗ: $\left\{\begin{gather} 3\cdot2^{x-2}-1>0 \\ x\neq0 \end{gather} \right. \ \Leftrightarrow\ x>2-\log_23$
Переносим $1$ налево $$ \frac{\log_2(3\cdot2^{x-2}-1)}{x}-1\geq0 $$ $$ \frac{\log_2(3\cdot2^{x-2}-1)-x}{x}\geq0 $$ $$ \frac{\log_2(3\cdot2^{x-2}-1)-\log_22^x}{x}\geq0 $$ Используем метод замены множителей $$ \frac{(3\cdot2^{x-2}-1-2^x)\cdot(2-1)}{x}\geq0 $$ $$ \frac{\frac{3}{4}\cdot2^x-1-2^x}{x}\geq0 $$ $$ \frac{-\frac{1}{4}\cdot2^x-1}{x}\geq0 $$ $$ \frac{\frac{1}{4}\cdot2^x+1}{x}\leq0 $$ Из ОДЗ следует, что $x>2-\log_23$. При таких значениях $x$ и числитель, и знаменатель выражения $ \frac{\frac{1}{4}\cdot2^x+1}{x}$ положительны. Следовательно, неравенство $ \frac{\frac{1}{4}\cdot2^x+1}{x}\leq0 $ не верно при любых $x\in\text{ОДЗ}$. Следовательно, решением неравенства является отсутствие решений $$ x\in\varnothing $$
Ответ: $x\in\varnothing$




Категория: 

© Открытый банк заданий ЕГЭ | Контакты: admin @ bankege.ru