Задание
Дан параллелограмм $ABCD$, сторона которого $AB=13$. Из углов $А$ и $В$ проведены биссектрисы, которые пересекаются в точке $О$. Расстояние от точки $О$ до отрезка АВ равно $\frac{60}{13}$. Определите отрезки $ВО$ и $OA$.
Дано
- ABCD - параллелограмм
- AB=13
- AM, BN - биссектрисы
- O - точка пересечения биссектрис
- $\angle OHB=90^{\circ}$
- $OH=\frac{60}{13}$
- BO, OA - ?
Решение
По свойствам параллелограмма $\angle DAB+\angle ABC=180^{\circ}$. AM и BN являются биссектрисами параллелограмма, следовательно $\angle OAB+\angle ABO=\frac{180}{2}=90$. Делаем вывод, что треугольник AOB прямоугольный.
Ответ: 5, 12.
- По свойствам прямоугольного треугольника $S_{AOB}=\frac{1}{2}\cdot AO\cdot OB$.
- Кроме того, по свойствам обычного треугольника $S_{AOB}=\frac{1}{2}\cdot OH\cdot AB=30$.
- По теореме Пифагора $ AB^2=AO^2+OB^2 $