Куб — правильный прямоугольник, все стороны которого являются квадратами.
Обозначения
- $ABCDA_1B_1C_1D_1$ — куб
- $a$ — длина стороны куба
- $S_{\text{бок.}}$ — площадь грани куба
- $V_{\text{куба}}$ — объем куба
Объем куба
Объем куба считается по всем известной формуле $$ V_{\text{куба}}=a^3 $$
Находим DB
В треугольнике $ADB$:
- $AD=AB=a$
- $\angle DAB=90^{\circ}$ — потому что все стороны куба являются квадратами
Так как треугольник $ADB$ прямоугольный, по теореме Пифагора $$ DB=\sqrt{a^2+a^2}=\sqrt{2}\cdot a $$ Аналогичным образом, приходим к заключению, что длина всех диагоналей граней куба равна $\sqrt{2}\cdot a$.
Находим $DB_1$
В треугольнике $DBB_1$:
- $BB_1=a$
- $DB=\sqrt{2}\cdot a$ — как мы только что выяснили
- $\angle DBB_1=90^{\circ}$ — потому что прямая $BB_1$ параллельна плоскости $ABC$
Так как треугольник $DBB_1$ прямоугольный, по теореме Пифагора $$ DB_1=\sqrt{a^2+2a^2}=\sqrt{3}\cdot a $$ Аналогичным образом, приходим к заключению, что длина всех диагоналей куба равна $\sqrt{3}\cdot a$.
Находим $AO$
Как мы выяснили ранее, $AC=\sqrt{2}\cdot a$. Точка $O$ делит $AC$ пополам, поэтому $$ AO=\frac{AC}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot a $$
Находим $A_1O$
В треугольнике $AA_1O$:
- $AA_1=a$
- $AO=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot a$ — как мы только что выяснили
- $\angle A_1AO=90^{\circ}$ — потому что прямая $AA_1$ параллельна плоскости $ABC$
Так как треугольник $AA_1O$ прямоугольный, по теореме Пифагора $$ A_1O=\sqrt{a^2+\frac{2}{4}\cdot a^2}=\frac{\sqrt{6}}{2}\cdot a $$
Находим $BF$
Пусть F является серединой стороны B_1C_1. Тогда $B_1F=\frac{a}{2}$. Из прямоугольного треугольника $BFB_1$ $$ BF=\sqrt{\frac{a^2}{4}+a^2}=\frac{\sqrt{5}\cdot a}{2} $$
