Угол между двумя плоскостями — угол между прямыми, образованными пересечением данных плоскостей с плоскостью, перпендикулярной линии пересечения данных плоскостей.
Проведем плоскость $\gamma$ так, чтобы она была перпендикулярна прямой $AB$. 
Сделаем обозначения, как показано на картинке. 
Прямая CO является прямой, по которой пересекаются плоскости $\alpha$ и $\gamma$. Прямая DO является прямой, по которой пересекаются плоскости $\beta$ и $\gamma$. Углом между плоскостями $\alpha$ и $\beta$ является угол COD между прямыми CO и DO.
Суть
По определению, угол между параллельными плоскостями равен 0. Пусть есть не параллельные плоскости $\alpha$ и $\beta$, пересекающиеся по прямой $AB$. Проведем плоскость $\gamma$ так, чтобы она была перпендикулярна прямой $AB$. Сделаем обозначения, как показано на картинке. Прямая CO является прямой, по которой пересекаются плоскости $\alpha$ и $\gamma$. Прямая DO является прямой, по которой пересекаются плоскости $\beta$ и $\gamma$. Углом между плоскостями $\alpha$ и $\beta$ является угол COD между прямыми CO и DO.