Задание
Найдите точку максимума функции $$ y=6+24x-x\sqrt{x} $$Решение
ОДЗ: $x\geq 0$ 1) Находим точки экстремума функции:
Берем производную от $y$ $$ y'=24-\dfrac{3}{2}\cdot \sqrt{x} $$ Приравниваем производную к 0 $$ 24-\dfrac{3}{2}\cdot \sqrt{x}=0 $$ Откуда получаем единственную точку экстремума $$ x=256 $$
2) Решаем задачу:
Берем вторую производную от функции $y$ $$ y''=-\dfrac{3}{4\cdot \sqrt{x}} $$ Смотрим на знак второй производной в точке экстремума $$ y''(256)=-\dfrac{3}{4\cdot \sqrt{256}}<0 $$ Знак второй производной в точке $x=256$ отрицателен, следовательно, точка $x=256$ является точкой максимума.
Ответ: 256.