Задание
Решите систему уравнений $$\left\{\begin{gather} \sqrt{1-y^2}(x^2-2x\sin\dfrac{\pi y}{2}+1)=0 \\ \sin \dfrac{\pi x}{2}=x^2-2x+2 \end{gather}\right.$$Решение
ОДЗ: $1-y^2\geq0\ \Leftrightarrow \ |y|\leq1$ 1) Решаем второе уравнение системы:
Перепишем второе уравнение системы в виде $$ \sin \dfrac{\pi x}{2}=1+(x-1)^2 $$ В этом уравнении слева от знака равенства стоит $\sin\frac{\pi x}{2}\leq 1$, а справа стоит $1+(x-1)^2\geq 1$. Отсюда можно заключить, что равенство возможно только тогда, когда $\sin\frac{\pi x}{2}=1+(x-1)^2=1$, что выполняется при $$ x=1 $$
2) Решаем первое уравнение системы при $x=1$:
Вместо первого уравнения системы можно решать два уравнения $$ \sqrt{1-y^2}=0,\ \ 1^2-2\cdot1\cdot\sin\dfrac{\pi y}{2}+1=0 $$ Из уравнения $\sqrt{1-y^2}=0$ следует, что $$ y=\pm1 $$ Из уравнения $1^2-2\cdot1\cdot\sin\dfrac{\pi y}{2}+1=0$ следует, что $$ 1=\sin\frac{\pi y}{2} $$ Откуда $$ y=(-1)^n+2n $$ Откуда, с учетом ОДЗ $$ y=\pm1 $$
Ответ: (1,1), (1,-1).