Задание
Решите систему уравнений $$\left\{\begin{gather} \sqrt{x}(x^2-5x-\sqrt{x^2-5x-2}-4)=0 \\ 12 \cos y=x \end{gather}\right.$$Решение
ОДЗ: $\left\{\begin{gather} x\geq0 \\ x^2-5x-2\geq0 \end{gather}\right.$ 1) Решаем уравнение $\sqrt{x}(x^2-5x-\sqrt{x^2-5x-2}-4)=0$:
Из первого уравнения системы следует, что либо $\sqrt{x}=0$, что не подходит под ОДЗ, либо $$ x^2-5x-\sqrt{x^2-5x-2}-4=0 $$ Перепишем это уравнение в виде $$ (x^2-5x-2)-\sqrt{x^2-5x-2}-2=0 $$ Делаем замену $t=\sqrt{x^2-5x-2}$ $$ t^2-t-2=0 $$ Решаем квадратное уравнение и делаем обратную замену $$ \sqrt{x^2-5x-2}=2,\ \sqrt{x^2-5x-2}=-1 $$ Правое уравнение не имеет смысла. Из левого уравнения получаем $$ x=-1\notin\text{ОДЗ},\ x=6 $$
2) Решаем уравнение $12 \cos y=x$ при $x=6$:
Если $x=6$, второе уравнение запишется в виде $$ 12\cos y=6 $$ Откуда $$ y=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n $$
Ответ: $(6,\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n)$.