ЕГЭ по математике задание С1 ЗАДАЧКА 48

Задание

Решите систему уравнений $$\left\{\begin{gather} \sin (x-\frac{\pi}{4})-\cos (x+\frac{3\pi}{4})=1 \\ \dfrac{2\cos 7x}{\cos 3+\sin 3}>2^{\cos 2x} \end{gather}\right.$$

Решение

1) Решаем первое уравнение системы:
Переписываем первое уравнение системы в виде $$ \sin (x-\frac{\pi}{4})-\cos (x+\pi-\frac{\pi}{4})=1 $$ С учетом того, что $\cos (\pi+x)=-\cos x$, получаем $\cos (x+\pi-\frac{\pi}{4})=-\cos (x-\frac{\pi}{4})$, откуда $$ \sin (x-\frac{\pi}{4})+\cos (x-\frac{\pi}{4})=1 $$ Умножаем правую и левую части уравнения на $ \frac{\sqrt{2}}{2} $ $$ \frac{\sqrt{2}}{2}\sin (x-\frac{\pi}{4})+\frac{\sqrt{2}}{2}\cos (x-\frac{\pi}{4})=\frac{\sqrt{2}}{2} $$ С учетом того, что $\frac{\sqrt{2}}{2}=\sin\frac{\pi}{4}=\cos\frac{\pi}{4}$, получаем $$ \sin (x-\frac{\pi}{4})\cdot\cos\frac{\pi}{4}+\sin\frac{\pi}{4}\cdot\cos (x-\frac{\pi}{4})=\frac{\sqrt{2}}{2} $$ Используя формулу синуса суммы, получаем $$ \sin(x-\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{4})=\frac{\sqrt{2}}{2} $$ Откуда $$ x=(-1)^k \frac{\pi}{4}+\pi k $$ Либо, что то же самое $$ x=\frac{\pi}{4}+2\pi k,\ x=\frac{3\pi}{4}+2\pi m $$
2) Определяем знак выражения $\cos 3+\sin 3$:
Как известно, $\pi=3.14$. Следовательно, число 3 находится очень близко от числа $\pi$. Число 3 находится примерно вот на этом вот месте тригонометрического круга: [[Файл:c1_2.3_1.png]] Из тригонометрического круга видно, что $\sin 3$ является очень маленьким положительным числом, а $\cos 3$ почти что равен -1. Следовательно $$ \cos 3+\sin 3<0 $$
3) Отсеиваем решения из 1 части с учетом ограничения $\dfrac{2\cos 7x}{\cos 3+\sin 3}>2^{\cos 2x}$:
Подставляем решение $x=\frac{3\pi}{4}+2\pi m$ во второе неравенство системы $$ \dfrac{2\cos (7\cdot \frac{3\pi}{4})}{\cos 3+\sin 3}>2^{\cos (2\cdot\frac{3\pi}{4})} $$ Упрощаем неравенство $$ \dfrac{2\cdot-\frac{1}{\sqrt{2}}}{\cos 3+\sin 3}>1 $$ С учетом того, что $\cos 3+\sin 3\simeq-1$, приходим к заключению, что решение $x=\frac{3\pi}{4}+2\pi m$ удовлетворяет второму неравенству. Проделываем те же операции с решением $ x=\frac{\pi}{4}+2\pi k $ и, в конечном итоге, отсеиваем его, потому что слева получается отрицательное число.
Ответ: $\frac{3\pi}{4}+2\pi m$.

См. также

  1. Обсуждение задачки на форуме ucheba.pro

Категория: 

© 2011-2014, Bankege.ru