Задание
Решите систему уравнений $$ \left\{\begin{gather} \frac{x^2-2y}{x+2y-1}=10x-8y-13 \\ \sqrt{(2x-3y-3)^2-7}=\sqrt{(3x-y-4)^2-7} \end{gather}\right. $$Решение
ОДЗ: $\left\{\begin{gather} x+2y-1\neq0 \\ (2x-3y-3)^2-7\geq0 \\ (3x-y-4)^2-7\geq0 \end{gather}\right.$ 1) Решаем второе уравнение системы:
Возводим правую и левую части уравнения в квадрат $$ (2x-3y-3)^2-7=(3x-y-4)^2-7 $$ Сокращаем $-7$ справа и слева и извлекаем корень от левой и правой части $$ |2x-3y-3|=|3x-y-4| $$ Если знаки левого и правого выражения под модулем совпадают, то тогда $2x-3y-3=3x-y-4$, откуда $$ x+2y-1=0 $$ Если знаки левого и правого выражения под модулем совпадают, то тогда $2x-3y-3=-(3x-y-4)$, откуда $$ 5x-4y-7=0 $$
2) Решаем первое уравнение системы:
Если $x+2y-1=0$, то тогда в уравнении $\frac{x^2-2y}{x+2y-1}=10x-8y-13$ происходит деление на 0, так что этот вариант отбрасывается. Перепишем второе уравнение системы в виде $$ \frac{x^2-2y}{x+2y-1}=2\cdot(5x-4y-7)+1 $$ Если $5x-4y-7=0$, то тогда второе уравнение системы приобретает вид $$ \frac{x^2-2y}{x+2y-1}=1 $$ Откуда $$ x^2=x+4y-1 $$ С учетом того, что $4y=5x-7$, получаем $$ x^2=x+(5x-7)-1 $$ Решаем квадратное уравнение и получаем, что $$ x=2,\ x=4 $$ Откуда $$ y=\frac{3}{4},\ y=\frac{13}{4} $$ Подставляем эти решения и ОДЗ и обнаруживаем, что ОДЗ удовлетворяет только решение $$ x=4,\ y=\frac{13}{4} $$
Ответ: (4, 3.25).
См. также
- Обсуждение задачки на форуме ucheba.pro