ЕГЭ по математике задание С2 ЗАДАЧКА 35

Пусть длина стороны куба равна $a$. Решаем данную задачу методом координат.

1. Вводим трехмерную систему координат с центром в точке $A$.
2. Прямая $AE$ имеет координаты $A(0,0,0),\ E(\frac{a}{2},a,0)$
3. Вектор $\overrightarrow{AE}$ имеет координаты $AE(\frac{a}{2}-0,a-0,0-0)$
4. Плоскость $BDC_1$ имеет координаты $B(a,0,0),\ D(0,0,a),\ C_1(a,a,a)$
5. Составляем матрицу $M=\begin{pmatrix}

x-B_x & y-B_y& z-B_z \\ D_x-B_x & D_y-B_y& D_z-B_z \\ C_x-B_x & C_y-B_y& C_z-B_z \\ \end{pmatrix}$=$\begin{pmatrix} x-a & y-0& z-0 \\ 0-a & 0-0& a-0 \\ a-a & a-0& a-0 \\ \end{pmatrix}$=$\begin{pmatrix} x-a & y& z \\ -a & 0& a \\ 0 & a& a \\ \end{pmatrix}$

1. Находим определитель матрицы M $$ |M|=(x-a)\cdot \begin{vmatrix} 0& a \\ a& a \end{vmatrix}-y \begin{vmatrix} -a& a \\ 0 & a \end{vmatrix}+z\begin{vmatrix} -a & 0 \\ 0 & a \end{vmatrix} = -a^2\cdot(x-a)+a^2\cdot y-a^2\cdot z$$
2. Пусть $A$, $B$, $C$ - коэффициенты, стоящие перед $x$, $y$ и $z$ в предыдущем уравнении: $A=-a^2$, $B=a^2$, $C=-a^2$
3. Находим синус угла между $AE$ и $BDC_1$ по формуле $$ \sin (E , BDC_1)=\frac{|A\cdot AE_x+B\cdot AE_y+C\cdot AE_z|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}\cdot\sqrt{AE_x^2+AE_y^2+AE_z^2}} $$

Подставляем в формулу наши числа $$ \sin (E , BDC_1)=\frac{|-a^2\cdot \frac{a}{2}+a^2\cdot a-a^2\cdot 0|}{\sqrt{a^4+a^4+a^4}\cdot\sqrt{(\frac{a}{2})^2+a^2+0^2}}=\frac{\sqrt{15}}{15} $$