Задание
Решите неравенство $$ \dfrac{x^4-16}{4\cdot2^{8-x^2}-8^x}\leq 0 $$Решение
ОДЗ: $4\cdot2^{8-x^2}-8^x\neq0$ 1) Узнаем ОДЗ:
Нам нужно узнать, при каких значениях $x$ выражение $4\cdot2^{8-x^2}-8^x$ превращается в 0 $$ 4\cdot2^{8-x^2}-8^x=0 $$ Переписываем выражение в виде $$ 2^2\cdot2^{8-x^2}-2^{3x}=0 $$ Выносим $2^{3x}$ за скобки $$ 2^{3x}\cdot(2^{-x^2-3x+10}-1)=0 $$ $2^{3x}>0$ для любого $x$, следовательно, предыдущее уравнение эквивалентно $$2^{-x^2-3x+10}-1=0$$ Выражение $2^{-x^2-3x+10}-1$ равно 0 только тогда, когда $$ -x^2-3x+10=0 $$ Откуда $$ x=-5,\ x=2 $$ Следовательно, ОДЗ $$ x\neq-5,\ x\neq2 $$
2) Решаем неравенство:
Переписываем неравенство в виде $$ \frac{(x^2-4)(x^2+4)}{2^{3x}\cdot(2^{-x^2-3x+10}-1)}\leq 0 $$ Откидываем всегда положительные члены $(x^2+4)>0$ и $2^{3x}>0$, получаем $$ \frac{x^2-4}{2^{-x^2-3x+10}-2^0}\leq0 $$ Раскладываем числитель неравенства на скобки. Применяем к знаменателю метод замены множителя $$ \frac{(x+2)(x-2)}{-x^2-3x+10-0}\leq0 $$ Раскладываем знаменатель на скобки $$ -\frac{(x+2)(x-2)}{(x+5)(x-2)}\leq0 $$ Сокращаем $x-2$ в числителе и знаменателе $$ \frac{(x+2)}{(x+5)}\geq0 $$ Методом интервалом с учетом ОДЗ получаем ответ $$ x\in (-\infty,-5)\cup[-2,2)\cup(2,+\infty) $$
Ответ: $(-\infty,-5)\cup[-2,2)\cup(2,+\infty)$.