Задание
Решите неравенство $$ \dfrac{2}{3x+7}\leq \dfrac{1}{x+3}-\dfrac{1}{x+4} $$Решение
ОДЗ: $\left\{\begin{gather} 3x+7 \neq 0 \\ x+3\neq0 \\ x+4\neq0 \end{gather}\right.\ \Leftrightarrow \ x\neq-\frac{7}{3}$, $x\neq-3$, $x\neq -4$
Приводим неравенство к общему знаменателю $$ \dfrac{3x+7-2(x+3)(x+4)}{(x+3)(x+4)(3x+7)}\geq0 $$ Решаем уравнение $3x+7-2(x+3)(x+4)=0$. Получаем отрицательный дискриминант. Подставляем в выражение $3x+7-2(x+3)(x+4)$ любое число и выясняем, что это выражение меньше нуля при любых значениях $x$. Так как в числителе исходного неравенства всегда стоит отрицательное число, вместо него можно решать неравенство $$ \dfrac{1}{(x+4)(x+3)(3x+7)}\leq0 $$ Решаем это неравенство методом интервалов и получаем $$ x\in(-\infty;-4)\cup(-3;-\frac{7}{3}) $$
Ответ: $(-\infty;-4)\cup(-3;-\frac{7}{3})$
Аналогичные задачки
- Решите неравенство $$\dfrac{1}{x-3}+\dfrac{1}{x-2}\leq \dfrac{2}{x+1}$$