Задание
Решите неравенство $$ \frac{1-\sqrt{1-4\cdot\log_8 x^2}}{\log_8 x}<2 $$Решение
ОДЗ: $\left\{\begin{gather} x>0 \\ \log_8 x\neq0 \\ 1-4\cdot\log_8 x^2\geq0 \end{gather} \right.\ \Leftrightarrow\ x\in(0,8^{\tfrac{1}{8}}),\ x\neq1,\ \log_8 x\leq\frac{1}{8} $
С учетом того, что $x>0$, переписываем выражение $\log_8 x^2$ в виде $2\cdot\log_8 x$ $$ \frac{1-\sqrt{1-8\cdot\log_8 x}}{\log_8 x}<2 $$ Делаем замену $t=\log_8 x$ $$ \frac{1-\sqrt{1-8\cdot t}}{t}<2 $$ Переносим $2$ налево и приводим выражение к общему знаменателю $$ \frac{1-2t-\sqrt{1-8\cdot t}}{t}<0 $$ Из ОДЗ следует, что $1-2t>0$ при любых $t$. Следовательно, это выражение без потери решений можно заменить на выражение $\sqrt{(1-2t)^2}$. В результате, решаемое неравенство приобретет вид $$ \frac{\sqrt{(1-2t)^2}-\sqrt{1-8\cdot t}}{t}<0 $$ Применяем метод замены множителей к выражению $\sqrt{(1-2t)^2}-\sqrt{1-8\cdot t}$, получаем $$ \frac{(1-2t)^2-(1-8\cdot t)}{t}<0 $$ Раскладываем выражение $(1-2t)^2-(1-8\cdot t)$ на произведение скобок $$ \frac{t\cdot(t+1)}{t}<0 $$ Сокращаем $t$ в числителе и знаменателе, получаем $$ t<-1 $$ Делаем обратную замену $$ \log_8 x<-1 $$ Решаем неравенство и получаем $$ x<\frac{1}{8} $$ С учетом ОДЗ получаем окончательный ответ $$ x\in(0,\frac{1}{8}) $$
Ответ: $x\in(0,\frac{1}{8})$.