Задание
Решите неравенство $$ \log_{\frac{1}{2}}x+\log_3x>1 $$Решение
ОДЗ: $x>0$
Переписываем член $\log_{\frac{1}{2}}x$ в виде $-\log_{2}x$ $$ \log_3 x-\log_2x>1 $$ Переписываем член $\log_3x$ в виде $\frac{\log_2x}{\log_23}$ $$ \frac{\log_2x}{\log_23}-\log_2x>1 $$ $$ \log-2x\cdot \frac{1-\log_23}{\log_23}>1 $$ Домножаем правую и левую часть неравенства на $\frac{1-\log_23}{\log_23}$. Так как число $\frac{1-\log_23}{\log_23}$ меньше 0, меняем знак неравенства на противоположный $$ \log_2x<\frac{\log_23}{1-\log_23} $$ $$ \log_2x<\frac{\log_23}{\log_2\tfrac{2}{3}} $$ $$ \log_2x<\log_\tfrac{2}{3}3 $$ $$ \log_2x<\log_22^{\log_\tfrac{2}{3}3} $$ Избавляемся от логарифмов $$ x<2^{\log_\tfrac{2}{3}3} $$ С учетом ОДЗ $$ x\in(0,2^{\log_\tfrac{2}{3}3}) $$
Ответ: $x\in(0,2^{\log_\tfrac{2}{3}3})$.