Задание
Окружность проходит через вершины A и C треугольника ABC и пересекает сторону AB в точке K и сторону BC в точке P. Отрезок KB=$\sqrt{5}$, AK=2$\sqrt{5}$. Найдите отрезок BP, если угол PAC=$\arcsin\frac{\sqrt{5}}{15}$, а угол KCA=$\arcsin\frac{1}{3}$
Решение
1) Находим PC:
Обращаем внимание на то, что и треугольник ACP, и треугольник ACK описывает одна и та же окружность. Делаем из этого вывод, что радиус описанной окружности $R$ вокруг треугольников ACP и ACK одинаковый. По теореме синусов из треугольника ACP $$ \frac{PC}{\sin PAC}=2R $$ По теореме синусов из треугольника ACK $$ \frac{AK}{\sin KCA}=2R $$ Откуда $$ PC=\sin(\arcsin \tfrac{\sqrt{5}}{15})\cdot\frac{AK}{\sin(\arcsin \tfrac{1}{3})}=\frac{\sqrt{5}}{5}\cdot2\sqrt{5}=2 $$
2) Находим BP:
По теореме о секущих $$ BP\cdot (BP+PC)=BK\cdot (BK+KA) $$ Откуда $$ BP\cdot(BP+2)=\sqrt{5}\cdot3\sqrt{5} $$ Решаем квадратное уравнение и получаем $$ BP=3 $$
Ответ: 3.