Задание
В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA1 и BB1. Точки A2 и B2 являются точками пересечения продолжения высот с описанной около треугольника ABC окружностью. Высоты пересекаются в точке H. Отрезок AH=9, HA1=2, BH=6. Найдите радиус вписанной в треугольник AHB2 окружности.
Дано
- ABC - остроугольный треугольник
- $AA_1,\ BB_1$ - высоты
- H - точка пересечения $AA_1$ и $BB_1$
- $A_2,\ B_2$ - точки пересечения продолжения высот с описанной около треугольника ABC окружностью
- $AH=9,\ HA_1=2,\ BH=6$
- радиус вписанной в треугольник $AHB_2$ окружности - ?
Решение
1) Находим $B_1H$:
В прямоугольных треугольниках $AB_1H$ и $HA_1B$ два равных угла: $\angle B_1HA=\angle BHA_1,\ \ \angle AB_1H=\angle HA_1B=90^{\circ} $. Следовательно, треугольники $AB_1H$ и $HA_1B$ подобны по двум углам, откуда $$ \frac{HB_1}{AH}=\frac{HA_1}{BH} $$ $$ HB_1=AH\cdot \frac{HA_1}{BH}=9\cdot\frac{2}{6}=3 $$
2) Доказываем, что треугольник $AHB_2$ равнобедренный:
Отрезки $AC$ и $BB_2$ являются пересекающимися хордами. Согласно о теореме о хордах $$ \frac{AB_1}{B_1B_2}=\frac{BB_1}{B_1C} $$ Следовательно, треугольники $AB_1B_2$ и $BB_1C$ являются подобными по двум пропорциональным сторонам и прямому углу между ними. Обозначим угол AB_2B_1 как $\alpha$ $$ \angle AB_2B_1=\alpha $$ Из подобия треугольников $AB_1B_2$ и $BB_1C$ следует, что $\angle B_1CB=\alpha$. Из прямоугольного треугольника B_1CB получаем, что $\angle CBB_1=90-\alpha$, из прямоугольного треугольника A_1BH $\angle BHA_1=90-\angle CBB_1=\alpha$. Углы BHA_1 и B_1HA равны, следовательно $$ \angle AHB_1=\alpha $$ В треугольнике $B_2HA$ два одинаковых угла, следовательно, он равнобедренный. Из равнобедренности треугольника $B_2HA$ следует, что $$ AB_2=AH=9,\ B_1B_2=HB_1=3 $$
3) Вычисляем радиус $r$ вписанной в треугольник $AHB_2$ окружности:
Длина стороны $B_2H$ равна 6. Полупериметр треугольника $AHB_2$ равен $$ p=\frac{AH+AB_2+B_2H}{2}=12 $$ Согласно свойствам радиуса вписанной в треугольник окружности $$ r=\sqrt{\frac{(p-AH)(p-AB_2)(p-B_2H)}{p}}=\frac{3\sqrt{2}}{2} $$
Ответ: $\frac{3\sqrt{2}}{2}$.
См. также
- Решение задачки на сайте ucheba.pro