Задание
В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA1 и BB1. Точки A2 и B2 являются точками пересечения продолжения высот с описанной около треугольника ABC окружностью. Высоты пересекаются в точке H. Отрезок AH=9, HA1=2, BH=6. Найдите отношение площади треугольника AHB2 к площади треугольника BHA2.
Дано
- ABC - остроугольный треугольник
- $AA_1,\ BB_1$ - высоты
- H - точка пересечения $AA_1$ и $BB_1$
- $A_2,\ B_2$ - точки пересечения продолжения высот с описанной около треугольника ABC окружностью
- $AH=9,\ HA_1=2,\ BH=6$
- $\dfrac{S_{AHB_2}}{S_{BHA_2}}$ - ?
Решение
1) Доказываем подобие треугольников $AHB_2$ и $BA_2H$:
Согласно теореме о хордах в треугольниках $AHB_2$ и $BA_2H$ $$ AH\cdot HA_2=B_2H\cdot BH $$ Откуда $$ \frac{AH}{B_2H}=\frac{BH}{A_2H} $$ Таким образом, треугольниках $AHB_2$ и $BA_2H$ сторона AH пропорциональна стороне BH, сторона $B_2H$ пропорциональна стороне $HA_2$, при этом по свойствам пересекающихся прямых $\angle AHB_2=\angle AHA_2$. Следовательно, треугольники $AHB_2$ и $BA_2H$ подобны по двум сторонам и углу между ними.
2) Вычисляем отношения площадей треугольников $AHB_2$ и $BA_2H$:
Коэффициент подобия треугольников $AHB_2$ и $BA_2H$ равен $$ k=\frac{AH}{BH}=\frac{3}{2} $$ Используем формулу площади треугольника через две стороны и угол между ними $$ \frac{S_{AHB_2}}{S_{BA_2H}}=\frac{0.5\cdot AH\cdot HB_2\cdot\sin AHB_2}{0.5\cdot BH\cdot HA_2\cdot\sin BHA_2}=\frac{k\cdot BH\cdot k\cdot HA_2}{BH\cdot HA_2}=k^2=\frac{9}{4} $$
Ответ: $\frac{9}{4}$.