Задание
В трапеции заданы основания $BC=4$ и $AD=9$. Продолжения боковых сторон $AB$ и $DC$ пересекаются в точке $E$. Через $E$ параллельно основаниям трапеции проведена прямая, пересекающая продолжение диагонали $AC$ в точке $F$. Площадь треугольника $FCE=36$. Найдите площадь трапеции $ABCD$.
Решение
Треугольник ADE подобен треугольнику BCE. Следовательно $ \frac{AD}{BC}=\frac{EC}{ED} $, откуда $$ \frac{EC}{ED}=\frac{9}{4} $$ Треугольники ADC и CFE также подобны по трем углам, потому что прямая AD параллельна прямой EF. Коэффициентом подобия этих треугольников является $k=\frac{CD}{EC}=\frac{ED-EC}{EC}=\frac{\tfrac{9}{4}\cdot EC-EC}{EC}=\frac{5}{4}$. Следовательно $$ S_{ADC}=k^2\cdot S_{FCE}=\frac{25}{16}\cdot 36 $$ Проводим высоту CK трапеции ABCD. По свойствам треугольника $S_{ACD}=\frac{1}{2}\cdot AD\cdot CK$, откуда $$ CK=2\cdot S_{ACD} : AD=\frac{25}{2} $$ По свойствам трапеции $$ S_{ABCD}=\frac{AD+BC}{2}\cdot CK=81.25 $$
Ответ: 81.25.