ЕГЭ по математике задание С4 ЗАДАЧКА 31

Задание

Дан параллелограмм $ABCD$, сторона которого $AB=13$. Из углов $А$ и $В$ проведены биссектрисы, которые пересекаются в точке $О$. Расстояние от точки $О$ до отрезка АВ равно $\frac{60}{13}$. Определите отрезки $ВО$ и $OA$.

Дано

  • ABCD - параллелограмм
  • AB=13
  • AM, BN - биссектрисы
  • O - точка пересечения биссектрис
  • $\angle OHB=90^{\circ}$
  • $OH=\frac{60}{13}$
  • BO, OA - ?

Решение

По свойствам параллелограмма $\angle DAB+\angle ABC=180^{\circ}$. AM и BN являются биссектрисами параллелограмма, следовательно $\angle OAB+\angle ABO=\frac{180}{2}=90$. Делаем вывод, что треугольник AOB прямоугольный.
  1. По свойствам прямоугольного треугольника $S_{AOB}=\frac{1}{2}\cdot AO\cdot OB$.
  2. Кроме того, по свойствам обычного треугольника $S_{AOB}=\frac{1}{2}\cdot OH\cdot AB=30$.
  3. По теореме Пифагора $ AB^2=AO^2+OB^2 $
Получаем систему $$ \left\{\begin{gather} AO\cdot OB=60 \\ AO^2+OB^2=13^2 \end{gather} \right. \ \Leftrightarrow\ AO=5,\ OB=12$$
Ответ: 5, 12.

Категория: 

© 2011-2014, Bankege.ru