Задание
В прямоугольном треугольнике ABC из вершины прямого угла C проведена высота CH, равная 6, отрезок AH равен 3. В треугольнике AHC проведена биссектриса HE, а в треугольнике CHB проведена биссектриса угла H - HD. Определите длину ED.
Дано
- ABC - прямоугольный треугольник
- $CH=6$ - высота
- AH=3
- HE, HD - биссектрисы
- ED - ?
Решение
1) Находим AE и EC:
Из прямоугольного треугольника ACH $$ AC=\sqrt{AH^2+CH^2}=\sqrt{45}=3\sqrt{5} $$ Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противоположную сторону в отношении, равном отношению двух прилежащих ей сторон. В треугольнике AHC HE является биссектрисой, поэтому $$ \frac{AE}{EC}=\frac{AH}{CH} $$ Получаем систему уравнений $$ \left\{\begin{gather} \frac{AE}{EC}=\frac{3}{6} \\ AE+EC=3\sqrt{5} \end{gather} \right. $$ Решаем ее $$ AE=\sqrt{5},\ EC=2\sqrt{5} $$
2) Находим HB:
Из прямоугольного треугольника ABC $$ (AH+HB)^2=AC^2+BC^2 $$ Из прямоугольного треугольника BCH $$ BC^2=CH^2+HB^2 $$ Получаем систему уравнений $$\left\{\begin{gather} (3+HB)^2=(3\sqrt{5})^2+BC^2 \\ BC^2=6^2+HB^2 \end{gather} \right. $$ Решаем ее и получаем $$ HB=12 $$
3) Находим CD и DB:
Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противоположную сторону в отношении, равном отношению двух прилежащих сторон. В треугольнике CHB HD является биссектрисой, поэтому $$ \frac{CD}{DB}=\frac{CH}{HB} $$ Из прямоугольного треугольника CHB $$ (CD+DB)^2=CH^2+BH^2 $$ Решаем систему из этих двух уравнений и получаем $$ CD=2\sqrt{5},\ DB=4\sqrt{5} $$
4) Находим ED:
Из прямоугольного треугольника CED $$ ED=\sqrt{EC^2+CD^2}=\sqrt{(2\sqrt{5})^2+(2\sqrt{5})^2}=2\sqrt{10} $$
Ответ: $2\sqrt{10}$.