ЕГЭ по математике задание С4 ЗАДАЧКА 7

Задание

В прямоугольном треугольнике ABC угол C равен 90, угол A равен 60. Из вершины прямого угла проведена медиана CM. В треугольник ABC вписана окружность с центром в точке O. Найдите угол между OM и CO.

Дано

ABC - прямоугольный треугольник
$\angle BAC=60^{\circ}$, следовательно $\angle ABC=90-60=30^{\circ}$
CM - медиана
O - центр вписанной в ABC окружности
угол между OM и CO - ?

Решение

1) Находим угол ZCM:

Медиана прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы. Поэтому CM=BM=MA. Треугольник BMC равнобедренный, откуда $$ \angle MCB=\angle MBC=30 $$ Прямая CZ является биссектрисой, проведенной из прямого угла, так что $$ \angle ZCB=45 $$ Получаем $$ \angle ZCM=\angle ZCB-\angle MCB=45-30=15^{\circ} $$

2) Находим угол OMT:

Треугольник CMA является равносторонним, потому что

CM=MA=R радиусу описанной вокруг ABC окружности
Из равнобедренности треугольника CMA $\angle MCA=\angle MAC=60^{\circ}$

Прямая AT проходит через центр вписанной окружности O, следовательно, по свойствам вписанной окружности, она является биссектрисой угла A. Так как треугольник CMA равносторонний, его биссектриса AT также является его высотой, так что $$ \angle ATM=90^{\circ} $$ Из правильности треугольника AMC следует, что треугольник COM равнобедренный, из чего следует, что $$ \angle OMT=\angle TCO=15^{\circ} $$

3) Находим $\angle MOC=\alpha$:

Из треугольника COM $$ \alpha=180-\angle OMT-\angle TCO=180-15-15=150^{\circ} $$

Ответ: 150.

Категория:

С4 (планиметрия)