Метод замены множителей в неравенствах

Метод замены множителей - совокупность приемов, при помощи которых можно существенно упростить себе жизнь, решая неравенства.

Суть

Пусть $t(x),\ f(x),\ g(x),\ h(x)$ - какие-то произвольные функции от $x$, например $t(x)=\sqrt{x},\ f(x)=2^x,\ g(x)=\log_2 \sqrt{x}$. И пусть $\vee$ - знак, вместо которого может стоять один из знаков $\geq,\ \leq,\ >,\ <$. Тогда, верны следующие утверждения:
  1. $t(x)\cdot (a^{f(x)}-a^{g(x)})\vee 0$ $\ \Leftrightarrow\ $ $t(x)\cdot (f(x)-g(x))\vee 0$, если $a>1$.
  2. $t(x)\cdot (a^{f(x)}-a^{g(x)})\vee 0$ $\ \Leftrightarrow\ $ $t(x)\cdot (g(x)-f(x))\vee 0$, если $0
  3. $t(x)\cdot (\log_a f(x)-\log_a g(x))\vee 0$ $\ \Leftrightarrow\ $ $t(x)\cdot (f(x)-g(x))\vee 0$, если $a>1$.
  4. $t(x)\cdot (\log_a f(x)-\log_a g(x))\vee 0$ $\ \Leftrightarrow\ $ $t(x)\cdot (g(x)-f(x))\vee 0$, если $0
  5. $t(x)\cdot (|f(x)|-|g(x)|)\vee 0$ $\ \Leftrightarrow\ $ $t(x)\cdot (f^2(x)-g^2(x))\vee 0$.
  6. $t(x)\cdot (\sqrt{f(x)}-\sqrt{g(x)})\vee 0$ $\ \Leftrightarrow\ $ $t(x)\cdot (f(x)-g(x))\vee 0$.
  7. $t(x)\cdot (\log_{h(x)}f(x)-\log_{h(x)}g(x))\vee0$ $\ \Leftrightarrow\ $ $t(x)\cdot (f(x)-g(x))\cdot(h(x)-1)\vee 0$.
  8. $t(x)\cdot (\log_{f(x)}h(x)-\log_{g(x)}h(x))\vee0$ $\ \Leftrightarrow\ $ $t(x)\cdot (g(x)-f(x))\cdot(h(x)-1)\cdot(f(x)-1)\cdot(g(x)-1)\vee 0$.
  9. $t(x)\cdot (\log_{h(x)}f(x)-\log_{h(x)}g(x))\vee0$ $\ \Leftrightarrow\ $ $t(x)\cdot (f(x)-g(x))\cdot(h(x)-1)\vee 0$.
  10. $t(x)\cdot (a^{f(x)}-a^{g(x)})\vee0$ $\ \Leftrightarrow\ $ $t(x)\cdot (f(x)-g(x))\cdot(a-1)\vee 0$.

См. также

Категория: 

© 2011-2014, Bankege.ru