Правильная треугольная призма — призма, в основаниях которой лежат два правильных треугольника, а все боковые грани строго перпендикулярны этим основаниям.
Обозначения
- $ABCA_1B_1C_1$ — правильная треугольная призма
- $a$ — длина стороны основания призмы
- $h$ — длина бокового ребра призмы
- $S_{\text{осн.}}$ — площадь основания призмы
- $V_{\text{призмы}}$ — объем призмы
Площадь оснований призмы
В основании правильной треугольной призмы лежит правильный треугольник со стороной $a$. По свойствам правильного треугольника $$ S_{\text{осн.}}=\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot a^2 $$ Таким образом, получается, что $S_{ABC}=S_{A_1B_1C_1}=\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot a^2$.
Объем призмы
Объем призмы вычисляется как произведение площади ее основания на ее высоту. Высотой правильной призмы является любое из ее боковых ребер, например, ребро $AA_1$. В основании правильной треугольной призмы находится правильный треугольник, площадь которого нам известна. Получаем $$ V_{\text{призмы}}=S_{\text{осн.}}\cdot AA_1=\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot a^2 \cdot h $$
Находим BD
BD является высотой правильного треугольника со стороной $a$, лежащего в основании призмы. По свойствам правильного треугольника $$ BD=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot a $$ Аналогичным образом, приходим к заключению, что длины всех остальных диагоналей оснований призмы равны $\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot a$.
Находим $BD_1$
В треугольнике $DBD_1$:
- $DB=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot a$ — как мы только что выяснили
- $DD_1=h$
- $\angle BDD_1=90^{\circ}$ — потому что прямая $DD_1$ перпендикулярна плоскости $ABC$
Таким образом, получается, что треугольник $DBD_1$ прямоугольный. По свойствам прямоугольного треугольника $$ BD_1=\sqrt{h^2+\frac{3}{4}\cdot a^2} $$ Если $h=a$, то тогда $$ BD_1=\frac{\sqrt{7}}{2}\cdot a $$
Находим $BC_1$
В треугольнике $CBC_1$:
- $CB=a$
- $CC_1=h$
- $\angle BCC_1=90^{\circ}$ — потому что прямая $CC_1$ перпендикулярна плоскости $ABC$
Таким образом, получается, что треугольник $CBC_1$ прямоугольный. По свойствам прямоугольного треугольника $$ BC_1=\sqrt{h^2+a^2} $$ Если $h=a$, то тогда $$ BC_1=\sqrt{2}\cdot a $$ Аналогичным образом, приходим к заключению, что длины всех остальных диагоналей боковых граней призмы равны $\sqrt{h^2+a^2}$.
