ЕГЭ по математике задание С2 ЗАДАЧКА 17

1. Нам нужно найти расстояние между прямыми $AB_1$ и $BC_1$.
2. Строим через прямые $AB_1$ и $BC_1$ две параллельные плоскости $AB_1D_1$ и $BDC_1$.
3. Строим прямую $O_1E$, перпендикулярную одновременно обеим плоскостям $AB_1D_1$ и $BDC_1$.
4. Для дальнейшего удобства, строим прямые $O_1C_1,\ OO_1,\ OC_1$
5. Расстоянием между прямыми $AB_1$ и $BC_1$ будет расстояние $O_1E$.

По свойствам куба $$ BD=BC_1=DC_1=\sqrt{2},\ O_1C_1=\frac{\sqrt{2}}{2},\ OC_1=\frac{\sqrt{6}}{2},\ OO_1=1 $$

• $\angle O_1EC_1=90^{\circ}$ — по построению
• $\angle OO_1C_1=90^{\circ}$ — потому что прямая $OO_1$ перпендикулярна плоскости $A_1B_1C_1$

Из прямоугольного треугольника $OO_1C_1$ $$ \sin O_1C_1O=\frac{OO_1}{OC_1} $$ Из прямоугольного треугольника $EO_1C_1$ $$ \sin O_1C_1O=\frac{O_1E}{O_1C_1} $$ Приравниваем правые части уравнений друг другу $$ \frac{OO_1}{OC_1}=\frac{O_1E}{O_1C_1} $$ Выражаем $O_1E$ $$ O_1E=O_1C_1\cdot\frac{OO_1}{OC_1}=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{1}{\tfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}}=\frac{1}{\sqrt{3}} $$