Задание
Найдите площадь полной поверхности правильной треугольной пирамиды, если сторона её основания равна $2$, а двугранный угол при основании равен $30$ градусам.
Дано
- $SABC$ — правильная треугольная пирамида, стороны основания которой равны $2$, а двугранный угол при основании равен $30$ градусам
- $SO$ — высота пирамиды
- $SB_1$ - апофема
- угол $SB_1O$ равен $30$ градусам
- площадь полной поверхности $SABC$ — ?
Решение
1) Находим $SB_1$:
По свойствам правильной треугольной пирамиды $$ OB_1=\frac{\sqrt{3}}{6}\cdot 2 $$ Из прямоугольного треугольника $SOB_1$ $$ \cos SB_1O=\frac{OB_1}{SB_1} $$ Выражаем $SB_1$ $$ SB_1=\frac{OB_1}{\cos SB_1O}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{6}\cdot 2}{\cos 30}=\frac{2}{3} $$
2) Решаем задачку:
Так как треугольник $ABC$ правильный, точка $B_1$ является серединой стороны $AC$, по причине чего $$ AB_1=B_1C=1 $$ Согласно свойствам прямоугольного треугольника $$ S_{SB_1C}=\frac{SB_1\cdot B_1C}{2}=\frac{1\cdot \frac{a}{3}}{2}=\frac{1}{3} $$ Треугольник $SB_1A$ равен треугольнику $SB_1C$, так что $$ S_{SAC}=2\cdot SB_1C=\frac{2}{3} $$ По свойствам треугольной пирамиды $$ S_{ABC}=\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot 2^2 =\sqrt{3}$$ Площадь полной поверхности пирамиды равна $$ S_{\text{полн}}=3\cdot S_{SAC}+S_{ABC}=2+\sqrt{3} $$
Ответ: $2+\sqrt{3}$