Задание
Решите неравенство $$ \frac{\log_3(3^x-1)}{x-1}\geq1 $$Решение
ОДЗ: $\left\{\begin{gather} 3^x-1>0 \\ x-1\neq0 \end{gather} \right. \ \Leftrightarrow\ x>0,\ x\neq1$
Переносим правую часть неравенства налево и приводим неравенство к общему знаменателю $$ \frac{\log_3(3^x-1)-(x-1)}{x-1}\geq0 $$ Представляем выражение $x-1$ в виде $\log_33^{x-1}$ $$ \frac{\log_3(3^x-1)-\log_33^{x-1}}{x-1}\geq0 $$ Применяем к числителю метод замены множителей $$ \frac{(3^x-1)-3^{x-1}}{x-1}\geq0 $$ $$ \frac{\frac{2}{3}\cdot 3^x-1}{x-1}\geq0 $$ $$ \frac{2}{3}\cdot\frac{3^x-\frac{3}{2}}{x-1}\geq0 $$ $$ \frac{3^x-3^{\log_3\tfrac{3}{2}}}{x-1}\geq0 $$ Снова метод замены множителей $$ \frac{x-\log_3\tfrac{3}{2}}{x-1}\geq0 $$ Решаем неравенство методом интервалов $$ x\in(-\infty;\log_3\frac{3}{2}]\cup(1;+\infty) $$ С учетом ОДЗ $$ x\in(0;\log_3\frac{3}{2}]\cup(1;+\infty) $$
Ответ: $x\in(0;\log_3\frac{3}{2}]\cup(1;+\infty)$.