Задание
Решите неравенство $$ \frac{\log_2(3x+2)}{\log_3(2x+3)}\leq0 $$Решение
ОДЗ: $\left\{\begin{gather} 3x+2>0 \\ 2x+3>0 \end{gather} \right. \ \Leftrightarrow\ x>-\frac{2}{3}$
Переписываем исходное неравенство в виде $$ \frac{\log_2(3x+2)-\log_21}{\log_3(2x+3)-\log_31}\leq0 $$ Применяем к числителю и знаменателю неравенства метод интервалов $$ \frac{(3x+2)-1}{(2x+3)-1}\leq0 $$ Решаем неравенство методом интервалов $$ x\in(-1;-\frac{1}{3}] $$ С учетом ОДЗ $$ x\in(-\frac{2}{3};-\frac{1}{3}] $$
Ответ: $x\in(-\frac{2}{3};-\frac{1}{3}]$.