Задание
В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки $B$ до прямой $AC_1$.
Дано
- $ABCA_1B_1C_1$ — правильная треугольная призма все ребра которой равны 1
- $B$ — точка
- $AC_1$ — прямая
- расстояние от $B$ до $AC_1$ — ?
Решение
1) Выясняем, какое, собственно, расстояние нам нужно искать:
- Нам нужно найти расстояние от точки $B$ до прямой $AC_1$.
- Проводим прямую $BD$ так, чтобы угол $BDC_1$ был равен 90 градусам.
- Для дальнейшего удобства, строим прямые $AB$ и $BC_1$.
- По определению, искомым расстоянием будет расстояние $BD$.
По свойствам призмы $$ AC_1=BC_1=\sqrt{2}\cdot 1,\ AB=1 $$ Следовательно, треугольник $ABC_1$ является равнобедренным треугольником. Его полупериметр равен $$ p=\frac{AB+AC_1+BC_1}{2}=\frac{1+\sqrt{2}+\sqrt{2}}{2}=0.5+\sqrt{2} $$ По формуле Герона, площадь $ABC_1$ равна $$ S_{ABC}=\sqrt{p(p-AB)(p-AC_1)(p-BC_1)}=\sqrt{(0.5+\sqrt{2})\cdot(-0.5+\sqrt{2})\cdot0.5\cdot0.5}=\frac{\sqrt{7}}{4} $$ По свойствам треугольника $$ S_{ABC}=0.5\cdot AC_1\cdot BD $$ Откуда $$ BD=\frac{S_{ABC}}{0.5\cdot AC_1}=\frac{\tfrac{\sqrt{7}}{4}}{0.5\cdot \sqrt{2}}=\frac{\sqrt{7}}{2\sqrt{2}} $$
Ответ: $\frac{\sqrt{7}}{2\sqrt{2}}$.