ЕГЭ по математике задание С2 ЗАДАЧКА 15

1. Нам нужно найти расстояние от точки $A$ до плоскости $BCA_1$.
2. Опускаем на плоскость $BCA_1$ перпендикуляр $AE$. Так как $AE$ является перпендикуляром, $\angle AEA_1=90^{\circ}$.
3. Для дальнейшего удобства, строим прямую $AD$.
4. Расстоянием между точкой $A$ и плоскостью $BCA_1$ будет расстояние $AE$.

По свойствам правильной треугольной призмы $$ AA_1=1,\ AD=\frac{\sqrt{3}}{2},\ BA_1=CA_1=\sqrt{2} $$

• Угол $ADB$ равен 90 градусам, потому что плоскость $ADA_1$ перпендикулярна плоскости $BCA_1$. Отсюда следует, что $AD$ является высотой правильного треугольника $ABC$, откуда получаем $BD=\frac{BC}{2}=\frac{1}{2}$.
• $\angle AEA_1=90^{\circ}$
• $\angle A_1AD=90^{\circ}$, потому что прямая $AA_1$ перпендикулярна плоскости $ABC$

Из прямоугольного треугольника $DBA_1$ $$ DA_1=\sqrt{BA_1^2-BD^2}=\frac{\sqrt{7}}{2} $$ Из прямоугольного треугольника $AEA_1$ $$ \sin AA_1E=\frac{AE}{AA_1} $$ Из прямоугольного треугольника $ADA_1$ $$ \sin AA_1E=\frac{AD}{A_1D} $$ Приравниваем правые части уравнений $$ \frac{AE}{AA_1} = \frac{AD}{A_1D} $$ Выражаем $AE$ $$ AE=AA_1\cdot \frac{AD}{A_1D}=1\cdot\frac{\tfrac{\sqrt{3}}{2}}{\tfrac{\sqrt{7}}{2}}=\sqrt{21} $$