Задание
В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ все ребра которой равны 1, найдите тангенс угла между плоскостями $ABC$ и $CA_1B_1$.
Дано
- $ABCA_1B_1C_1$ — правильная треугольная призма, все ребра которой равны 1
- $ABC$ и $CA_1B_1$ — плоскости
- тангенс угла между $ABC$ и $CA_1B_1$ — ?
Решение
1) Выясняем, какой, собственно, угол нам нужно искать:
- Нам нужно найти угол между плоскостями $ABC$ и $CA_1B_1$.
- Обращаем внимание на плоскость $A_1B_1C_1$. Плоскость $A_1B_1C_1$ параллельна плоскости $ABC$, следовательно, угол между плоскостями $A_1B_1C_1$ и $A_1B_1C$ равен углу между плоскостями $ABC$ и $A_1B_1C$.
- Обращаем внимание на то, что плоскости $A_1B_1C_1$ и $A_1B_1C$ пересекаются по прямой $A_1B_1$.
- Строим плоскость $CDC_1$ так, чтобы она была перпендикулярна прямой $A_1B_1$.
- Обращаем внимание на то, что плоскости $A_1B_1C$ и $CDC_1$ пересекаются по прямой $CD$.
- Обращаем внимание на то, что плоскости $A_1B_1C_1$ и $CDC_1$ пересекаются по прямой $DC_1$.
- По определению, углом между плоскостями $A_1B_1C_1$ и $A_1B_1C$ будет угол $CDC_1$.
По свойствам правильной треугольной призмы $$ C_1D=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot 1,\ CC_1=1,\ \angle CC_1D=90^{\circ} $$ Из прямоугольного треугольника $CDC_1$ $$ \operatorname{tg} CDC_1=\frac{CC_1}{C_1D}=\frac{1}{\tfrac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{2}{\sqrt{3}} $$
Ответ: $\frac{2}{\sqrt{3}}$.